給定一個爐石卡集，如何確定要購買的最佳卡包？
爐石傳說允許玩家用真錢或遊戲貨幣購買卡包。每個爐石卡包都有五張卡，其中至少一張是稀有或更好的。已經進行了幾項玩家卡包抽樣研究，以確定爐石卡包的典型稀有構成：
Common Rare Epic Legendary Percentage of total 71.65% 22.84% 4.42% 1.10% Count per 27,868 packs 99,836 31,821 6,152 1,531 Probability of at least 1 per pack 99.81% 72.64% 20.21% 5.37%玩家可以分解卡牌來製造奧術之塵，然後可以用來製造卡牌。卡片的製作和分解成本取決於其稀有度和閃卡（普通/金色）：
Rarity Crafting Cost Disenchanting Value Common 40 5 Rare 100 20 Epic 400 100 Legendary 1600 400 Golden Common 400 50 Golden Rare 800 100 Golden Epic 1600 400 Golden Legendary 3200 1600鑑於上述製作和分解成本以及卡包組成統計數據，卡包的預期灰塵值為 97.8。
對於這個問題的範圍，擁有一套完整的可玩系列意味著忽略卡片的閃，每張傳奇卡都有一個副本和以下任何稀有卡的兩個副本：每張卡的普通、稀有和史詩。一個可玩的系列假設重複的高塵價值卡將比低價值等價卡分解。
確定完成收藏所需的灰塵很容易，確定玩家應該購買哪個包則更困難。鑑於打開具有不同稀有度的包的機率和包的預期灰塵值，我想確定玩家應該購買哪個包。
具體來說，我正在尋找一個公式，該公式可用於確定玩家在現有收藏和希望擁有完整可玩收藏的情況下購買的最佳卡包。顯然，隨著禮包的打開，玩家收藏的構成會發生變化，下一個要購買的最佳禮包可能與上一個不同。
我一直在玩《爐石傳說》，因為它處於測試階段並積累了豐富的收藏，但我仍然缺少目前所有三個系列的卡：
經典：705/723（302 張收藏卡）
- 普通 336/336
- 稀有 162/162
- 史詩 66/74
- 傳奇 23/33
GvG：178/226（123張收藏卡）
- 普通80/80
- 稀有 70/74
- 史詩 22/52
- 傳奇 6/20
TGT：200/244（132 張收藏卡）
- 普通 97/98
- 稀有 69/72
- 史詩 28/54
- 傳奇 6/20
以我的收藏為例，確定要購買的最佳包以創建完整的可玩收藏的公式是什麼樣的？
為此，我必須做出一些假設和簡化：
- 不同稀有度的機率在擴展包之間是一致的：即經典包與 GvG 包具有相同的機會為您提供稀有、史詩或傳奇。考慮到我發現的不同研究之間的低差異，這似乎是可能的，但考慮到樣本量，實際機率可能相差約 0.5%。這不太可能改變包裝的整體價值。
- 稀有、史詩和傳奇之間的機率對於每包一張稀有或更好的牌與每包額外稀有或更好的牌的相對分佈相同。我將嘗試在下面的計算中展示這一點，但這是一個重要的假設，即我沒有要備份的數據。
- 一張額外牌成為稀有、史詩或傳奇的機率與保證稀有或更好的牌是稀有、史詩或傳奇無關。
- 所有的卡片都價值不菲；一張你沒有的卡片的價值在於它創造的成本。
- 你所擁有的一張牌的價值在於它會因分解而給你帶來的灰塵。
- 如果我們假設每種擴展包類型獲得金卡的機率相等，我們可以忽略金卡的影響。這將降低此答案中報告的每個包裝的實際預期灰塵值，但對於每種包裝類型都應該這樣做。
我製作了一個Google 電子表格，但這裡是相關部分。
一個包中肯定有一張稀有卡——該卡成為稀有、史詩或傳奇的機率明顯高於包中的其他 4 張卡。
Rarity Count % Total Rare+ Card % Other 4 Cards % Common 99836 71.65% 0.00% 89.56% Rare 31821 22.84% 80.55% 8.41% Epic 6152 4.42% 15.57% 1.63% Legend 1531 1.10% 3.88% 0.40% Total 139340 100.00% 100.00% 100.00%表 1 - 保證 Rare+ 卡的卡機率明細
在相關元研究中的 139340 張卡片中，有 39504 張稀有或更好（即
Rare+）。在連結的元研究中打開了 27868 個包，因此預計有 27868 張稀有+卡（也是卡總數的 1/5）。
這給我們留下了 11636 張額外的 Rare+ 卡。
還有 111472 張不能保證稀有或更好的卡片（卡片總數的 4/5）。
Rare+ Card %：包中稀有或更好的卡片有 0% 的機率成為普通卡片。要計算成為 Rare+ 稀有度（稀有、史詩和傳奇）的機率，您需要將該稀有度的卡片總數除以研究中的 Rare+ 卡片總數。（這是實踐中的假設 2。）
- 對於稀有，這是 31821 / 39405 = 80.55%。
- 史詩：6152 / 39405 = 15.57%
- 圖例：1531 / 39405 = 3.88%
另一張不保證稀有或更好成為稀有 + 的機會是額外稀有牌的數量除以總牌的五分之四：11636 / 111472 = 10.44%
Other 4 Cards %: 顯然更可能是普通的，但也要求對 Common% 的計算方式比 Rare+% 的計算方式不同。
- Common%：普通牌總數除以總牌數的 4/5。99836 / 111472 = 89.56%
- Rare+%：稀有機率乘以卡片稀有機率+
- 對於 Rare，這是 80.55% * 10.44% = 8.41%
- 史詩：15.57% * 10.44% = 1.63%
- 傳奇：3.88% * 10.44% = 0.40%
這使該卡（以及整個包裝）的預期灰塵值顯著高於其他研究中發現的純分解灰塵（Reddit說〜105灰塵，該問題中連結的 wiki並引用了該數據的大部分數據答案說〜98灰塵），即使我們忽略了金卡的影響。
現在我們需要將接收每種卡片的機率應用於您的收藏細節。
- GvG：178/226（123 張收藏卡，需要 2x 普通、稀有和史詩，1x 傳奇）
計數，包括重複：擁有/總數
+ 常見 80/80 - 100% 機率複製，0% 機率為新 + 稀有 70/74 - 94.59% 被騙，5.41% 新 + 史詩 22/52 - 42.31% 欺騙，57.69% 新 + 傳奇 6/20 - 30.00% 欺騙，70.00% 新
Rarity Rare+ % Rare+ Dust Other 4 % Other 4 Dust Common 0.00% 0 89.56% 17.91 Rare 80.55% 19.59 8.41% 8.18 Epic 15.57% 42.53 1.63% 17.76 Legend 3.88% 48.06 0.40% 20.07 Sum 110.18 Sum 63.92 Total Pack Dust Value 174.09表 2 - @ashteele收藏的一組 Goblins vs. Gnomes (GvG) 中每張卡片的預期灰塵值。
這是它變得有點神秘的地方。機率（第 2 列和第 4 列）是從上面的表 1 中復製而來的。灰塵值的計算方法是採用稀有機率並將各個灰塵值的總和乘以重複和新的需要卡的機率。
因此，對於 Rare+ 卡上的 GvG Rare，有 80.55% 的機會成為稀有卡，70/74 的機會成為 20 塵埃的騙子，4/74 的機會成為 100 塵埃的新卡。
80.55% * ( 20 dust * 70/74 + 100 dust * 4/74 ) = 80.55% * ( 20 dust * 0.9459 + 100 dust * 0.0541) = 80.55% * ( 18.92 dust + 5.41 dust ) = 80.55% * 24.25 dust = 19.59 dust對 Rare+ 和 Other4 上的每張卡片稀有度和機率對重複此操作，您將獲得 GvG 包 174.09 灰塵的預期灰塵值。隨著您獲得更多新的 GvG 卡並且您的收藏接近完成，這將降低並接近一包約 100 個灰塵的僅分解灰塵值，因此我對通過最不完整的收藏挑選一包的啟發式方法的評論。
但這種方法是否適用於其餘的收藏還有待觀察，因為它們每個都有唯一數量的需要和缺失的卡片。我希望它會，因為你錯過了更少的 TGT 稀有和史詩以及相同數量的 TGT 傳奇，甚至更少的經典史詩和傳奇並且沒有經典稀有。但為了完整起見，這裡是圖表。
Rarity Rare+ % Rare+ Dust Other 4 % Other 4 Dust Common 0.00% 0 89.56% 19.19 Rare 80.55% 18.80 8.41% 7.85 Epic 15.57% 38.07 1.63% 15.89 Legend 3.88% 48.06 0.40% 20.07 Sum 104.92 Sum 63.00 Total Pack Value 167.92表 3 - @ashteele收藏的 The Grand Tournament (TGT) 包中每張卡片的預期灰塵值。
Rarity Rare+ % Rare+ Dust Other 4 % Other 4 Dust Common 0.00% 0 89.56% 17.91 Rare 80.55% 16.11 8.41% 6.73 Epic 15.57% 20.62 1.63% 8.61 Legend 3.88% 29.60 0.40% 12.36 Sum 66.33 Sum 45.61 Total Pack Value 111.94表 4 - @ashteele收藏的經典包中每張卡片的預期灰塵值。
所以我得出了和lasarusL的回答一樣的結論：GvG對你開局最有利，緊隨其後的是TGT，而Classic則遙遙領先。我的數字甚至比他的 5 倍還要高，但正如我開始做數學時所懷疑的那樣，每包一個稀有或更好的保證並沒有真正使天平傾斜那麼多。我認為值得重新計算每個擴展和卡片稀有度的數字，以將我的 5 頁電子表格簡化為一個簡單的公式，每個擴展只有 4 次乘法和一個求和。